b)     Experiment: Wir werfen einen Würfel und notieren die Augenzahl.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c)      Experiment: Wir werfen einen Würfel und notieren, ob eine gerade oder eine ungerade  Zahl fällt.

Ω = {gerade, ungerade}

d)     Wir werfen einen Würfel zweimal hintereinander und notieren die Augensumme.

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Achtung: Die Ergebnisse sind hier nicht gleichwahrscheinlich!

Sind bei einem Experiment alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis (ggf. sprachlich formuliert) eine Menge. Ist das Ereignis wahrscheinlich, dann ist die Menge eine Teilmenge von Ω.

Beispiel:

1.      Experiment: Würfelwurf einmal.

2.      Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3.      Ereignisse

Ereignis A: „Eine „7“ wird gewürfelt“ A = {7} àWahrscheinlichkeit (Probability) von A = P (A) = 0

Ereignis B: „Eine gerade Zahl wird gewürfelt“ B = {2, 4, 6} àP (B) = 0,5

1. Schritt: Definieren: Definieren eines Experiments

2. Schritt: Notieren von Ω

3. Schritt: Definieren und notieren von den Ereignissen A, B, …

4. Schritt: Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse. Nur bei Laplace-Experimenten gilt: P (A) =

Das Gegenereignis zu einem Ereignis A wird mit   bezeichnet. Es umfasst gerade die Elemente, die nicht in A sind. Es gilt   = Ω \{A}.

Beispiel: Einfacher Münzwurf Ω = {W, Z}. A = {W};   = Ω \{W} = {Z}.

Für die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis gilt: P (A) + P ( ) = 1 = P (Ω) oder auch P ( ) = 1 – P (A).

Das Baumdiagramm ist das Instrument zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, auch kompliziertester Ereignissen!

Beispiel: Experiment: Aus einer Urne mit 2 blauen und 6 grünen Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen drei Kugeln gezogen.

Es gibt allerdings auch noch Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeiten anders zu berechnen. Als Beispiel hierfür soll das Lottospiel dienen. Beim Lotto werden 6 Kugeln aus 49 gezogen, nach dem Ziehen einer Kugel wird diese nicht zurückgelegt. Ziel ist es möglichst viele Treffer zu ziehen.

Zur Vereinfachung der Anfang vom Baumdiagramm:

Die Wahrscheinlichkeit, dass man alle 6 richtig hat, berechnet man durch:

∙ die Anzahl der Pfade, die es im Baumdiagramm für 6 Treffer gibt (ist hier nur ein Pfad) = 7,151123042∙10-8

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass man 5 Treffer hat:

= 1,844989951∙10-5.

 

Wieso 6 Pfade für 5 Treffer? Anders gefragt, wie viel Möglichkeiten gibt es, einen Nichttreffer auf 6 Plätze zu verteilen?

T T T T T N
T T T T N T
T T T N T T
T T N T T T
T N T T T T
N T T T T T

 

Die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer:

= 9,686197244∙10-4

Warum 15 Pfade? Für den 1. Nichttreffer gibt es 6 Möglichkeiten ihn auf 6 Plätze zu verteilen, für den zweiten Nichttreffer dann noch 5. Alle Kombinationen wären dann 6 ∙ 5 = 30, allerdings sind da die Kombinationen eingerechnet, wo sie nur die Plätze tauschen. Diese sind doppelt da sie sich nicht unterscheiden.

Man kann eine Regelmäßigkeit feststellen. Für 3 Treffer (3 Nichttreffer) wird es Pfade geben, für 2 Treffer (4 Nichttreffer) Pfade, für 1 Treffer (5 Nichttreffer) Pfade und für 0 Treffer Pfade. Um dann die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, rechnet man Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.

 

Ein Produkt aus Faktoren, die ganzzahlig von n rückwärts zur 1 gehen (also n …∙ 2 ∙ 1) nennt man n-Fakultät. Schreibweise: n! Die Fakultät von 0 (0!) wird als 1 definiert. Die Fakultät ist nur eine Kurzschreibweise.

Die Anzahl der Pfade in Kurzschreibweise:

1 Treffer auf 6 Plätze:

2 Treffer auf 6 Plätze:

3 Treffer auf 6 Plätze:

4 Treffer auf 6 Plätze:

5 Treffer auf 6 Plätze:

6 Treffer auf 6 Plätze:

 

Allgemein:

 

„n über k“ ist die Kurzschreibweise für die davor stehende Formel.

 

Wahrscheinlichkeit 3 Treffer

= 0,017650403

 

Wahrscheinlichkeit 2 Treffer

= 0,132378029

 

Wahrscheinlichkeit 1 Treffer

= 0,41301945

 

Wahrscheinlichkeit 0 Treffer

= 0,435964975

Weiteres Beispiel: Pokern

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim ersten Geben 4 Asse bekommt (jeder Spieler hat 5 Karten, gespielt wird mit 52 Karten, jede Karte ist viermal vertreten Ω = {4 x 2, 4 x 3, …, 4 x König, 4 x mal Ass})

P (x = 4) = = 1,846892603 ∙ 10-5

 

Bernoulliexperiment

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und Nichttreffer), das n-mal durchgeführt wird, wobei die einzelnen Versuchsdurchführungen unabhängig voneinander sind, heißt n-stufiges Bernoulliexperiment.

Beispiel: Zweifacher Münzwurf

Wahrscheinlichkeit dafür, dass man zweimal eine Zahl sieht:

P (x = 2) = = 0,25

Allgemein: P (x = k) =

 

Erwartungswert

Der „Durchschnittswert“ eines Zufallsexperiments heißt Erwartungswert (Schreibweise: E (x) oder µ) und berechnet sich wiefolgt:

E (x) = k1 ∙ P (x = k1) + k2 ∙ P (x = k2) + k3 ∙ P (x = k3) + … + kn ∙ P (x = kn)

 

Am Beispiel Glücksrad (siehe unten) heißt das:

E (x) = = 1,375

 

Glücksrad

 

 

Tabelle der Wahrscheinlichkeiten

 

k	P (x = k)
0
1
2
3	---	---
4
	Erwartungswert:	1,375