Die Wahrscheinlichkeit, dass man alle 6 richtig hat, berechnet man durch:
∙ die Anzahl der Pfade, die es im Baumdiagramm für 6 Treffer gibt (ist hier nur ein Pfad) = 7,151123042∙10-8
Die Wahrscheinlichkeit, dass man 5 Treffer hat:
= 1,844989951∙10-5.
Wieso 6 Pfade für 5 Treffer? Anders gefragt, wie viel Möglichkeiten gibt es, einen Nichttreffer auf 6 Plätze zu verteilen?
T T T T T N
T T T T N T
T T T N T T
T T N T T T
T N T T T T
N T T T T T
Die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer:
= 9,686197244∙10-4
Warum 15 Pfade? Für den 1. Nichttreffer gibt es 6 Möglichkeiten ihn auf 6 Plätze zu verteilen, für den zweiten Nichttreffer dann noch 5. Alle Kombinationen wären dann 6 ∙ 5 = 30, allerdings sind da die Kombinationen eingerechnet, wo sie nur die Plätze tauschen. Diese sind doppelt da sie sich nicht unterscheiden.
Man kann eine Regelmäßigkeit feststellen. Für 3 Treffer (3 Nichttreffer) wird es
Pfade geben, für 2 Treffer (4 Nichttreffer)
Pfade, für 1 Treffer (5 Nichttreffer)
Pfade und für 0 Treffer
Pfade. Um dann die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, rechnet man Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
Ein Produkt aus Faktoren, die ganzzahlig von n rückwärts zur 1 gehen (also n …∙ 2 ∙ 1) nennt man n-Fakultät. Schreibweise: n! Die Fakultät von 0 (0!) wird als 1 definiert. Die Fakultät ist nur eine Kurzschreibweise.
Die Anzahl der Pfade in Kurzschreibweise:
1 Treffer auf 6 Plätze:
2 Treffer auf 6 Plätze:
3 Treffer auf 6 Plätze:
4 Treffer auf 6 Plätze:
5 Treffer auf 6 Plätze:
6 Treffer auf 6 Plätze:
Allgemein:
„n über k“ ist die Kurzschreibweise für die davor stehende Formel.
Wahrscheinlichkeit 3 Treffer
= 0,017650403
Wahrscheinlichkeit 2 Treffer
= 0,132378029
Wahrscheinlichkeit 1 Treffer
= 0,41301945
Wahrscheinlichkeit 0 Treffer
= 0,435964975
Weiteres Beispiel: Pokern
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim ersten Geben 4 Asse bekommt (jeder Spieler hat 5 Karten, gespielt wird mit 52 Karten, jede Karte ist viermal vertreten Ω = {4 x 2, 4 x 3, …, 4 x König, 4 x mal Ass})
P (x = 4) =
= 1,846892603 ∙ 10-5
Bernoulliexperiment
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und Nichttreffer), das n-mal durchgeführt wird, wobei die einzelnen Versuchsdurchführungen unabhängig voneinander sind, heißt n-stufiges Bernoulliexperiment.
Beispiel: Zweifacher Münzwurf
Wahrscheinlichkeit dafür, dass man zweimal eine Zahl sieht:
P (x = 2) =
= 0,25
Allgemein: P (x = k) =
Erwartungswert
Der „Durchschnittswert“ eines Zufallsexperiments heißt Erwartungswert (Schreibweise: E (x) oder µ) und berechnet sich wiefolgt:
E (x) = k1 ∙ P (x = k1) + k2 ∙ P (x = k2) + k3 ∙ P (x = k3) + … + kn ∙ P (x = kn)
Am Beispiel Glücksrad (siehe unten) heißt das:
E (x) =
= 1,375
Glücksrad
Tabelle der Wahrscheinlichkeiten
k |
P (x = k) |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
--- |
--- |
4 |
|
|
|
|
|
|
Erwartungswert: |
1,375 |