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Termumformungen

1. Aufstellen von Termen mit mehreren Variablen

Hierbei geht es darum, z. B. eine Fläche in Zahlen oder Buchstaben auszudrücken (eben einen Term aufzustellen). Dazu ist folgendes Beispiel gegeben:

Nun könnte eine Aufgabe darin bestehen, den Flächeninhalt vom Rahmen in einem Term auszudrücken. Die Lösung dazu wäre:

c ∙ a + c ∙ a + (b – 2a) ∙ a + (b – 2a) ∙ a      (d. h. Rand rechts und links und der Rand oben und unten abzüglich der Schnittmenge)

= 2ca + 2(b – 2a) ∙ a
= 2ca + 2(ba – 2a²)
= 2ca + 2ba – 4a²

2. Zusammenfassen von Summentermen

Ein Produkt ist eine Kurzschreibweise für eine Summe. 4 ∙ a ist folglich nichts anderes als a + a + a + a. Deshalb ist es erlaubt Summen zusammenzufassen, wenn mehrmals derselbe Faktor mal eine bestimmte Zahl genommen wird. Beispiel: 4a + a (a = 1a) = 5a, weil a + a + a + a   +   a = 5 ∙ a ist. 3a + 2ab kann man nicht zusammenfassen, da a + a + a + ab + ab weder 5a, noch 5ab ist. 

Beispiel:

4a + ⅓b + 5,5c + 3b – 5c + a     Ordnen
= 4a + 1a + ⅓b + 3b + 5,5c + (-5)c    Zusammenfassen
= 5a + 3⅓b + 0,5c

3. Klammerregeln

Wie man eine Klammer auflöst, hat man in Klasse 5 im Zusammenhang mit dem Distributivgesetz gelernt. Man löst eine Klammer auf, indem man jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Dazu eine Beispielaufgabe:

Löse die Klammer auf und fasse soweit wie möglich zusammen.

5x – (4y + 2x) – 2(8x – 2y)                (eine Klammer mit Minus davor ist so, als würde eine -1 davor stehen.)

= 5x – 4y – 2x – 16x + 4y                Ordnen
= 5x – 2x – 16x – 4y + 4y                Zusammenfassen
= - 13x 

4. Zusammenfassen von Produkten

Das Zusammenfassen von Produkten ist denkbar einfach: Alle Zahlen multiplizieren und die Variablen ordnen, dann noch ggf. Potenzen daraus machen.

Beispiel:

5x ∙ 2y ∙ x ∙ 4y ∙ x
= 5 ∙ 2 ∙ 4 ∙ x ∙ x ∙ x ∙ y ∙ y
= 40x³y²

 

5. Addition von Produkten

Die Erklärung steht schon beim Zusammenfassen von Summentermen. Folglich ist das hier nur ein wiederholendes Beispiel:

1,5y ∙ 8yx + 9y² ∙ ⅔x² - 5xy²
= 1,5 ∙ 8 ∙ x ∙ y ∙ y + 9 ∙ ⅔ ∙ x ∙ x ∙ y ∙ y – 5 ∙ x ∙ y ∙ y
= 12xy² + 6x²y² - 5xy²
= 7xy² + 6x²y²

 

6. Multiplizieren von Summen und Differenzen

Das Multiplizieren von Summen und Differenzen kommt den Klammerregeln nahe.

Beispiel:

(2x – 3y) ∙ (4a – 5b + c)
= 2x ∙ 4a + 2x ∙ (- 5b) + 2x ∙ c + (- 3y) ∙ 4a + (- 3y) ∙ (- 5b) + (- 3y) ∙ c
= 2 ∙ 4 ∙ a ∙ x + 2 ∙ (- 5) ∙ b ∙ x + 2 ∙ c ∙ x + (- 3) ∙ 4 ∙ a ∙ y + (- 3) ∙ (- 5) ∙ b ∙ y + (- 3) ∙ c ∙ y
= 8ax – 10bx + 2cx – 12ay + 15by – 3cy

 

7. Binomische Formeln

1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)²
= (a + b) ∙ (a + b)
= a ∙ a + a ∙ b + b ∙ a + b ∙ b
= a² + 2ab + b²

2. binomische Formel: (a – b)² = a² - 2ab + b²

(a – b)²
= (a – b) ∙ (a – b)
= a ∙ a – a ∙ b – b ∙ a + (- b) ∙ (-b)
= a² - 2ab + b²

3. binomische Formel: (a + b) ∙ (a – b) = a² - b² 

(a + b) ∙ (a – b)
= a ∙ a – a ∙ b + b ∙ a + b ∙ (- b)
= a² - b²

Beispiele: 

(2w + 5d)² = (2w)² + 2 ∙ 2w ∙ 5d + (5d)² = 4w² + 20wd + 25d²
(x – 4y)² = x² - 2 ∙ x ∙ 4y + (4y)² = x² - 8xy + 16y²
(3d – 3c)(3d + 3c) = (3d)² - (3c)² = 9d² - 9c²

8. Umformung von Summen in Produkte

Umformung von Summen in Produkte durch Ausklammern (immer den größten gemeinsamen Faktor ausklammern!)

binomische Formeln

Beispiel:

2xy + 10xyz – 20xz = 2x ∙ (y + 5yz -10z)
a² + 2ab + b² = (a + b)²
4a² - 20ab + 25b² = (2a)² - 2 ∙ 2a ∙ 5b + (5b)² = (2a – 5b)²

 
 
 

 

 
 
 

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