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Nullstellen

Im geometrischen Sinne liegt an einer Stelle xo eine Nullstelle vor, wenn der Graph einer Funktion f(x) dort die x-Achse berührt oder schneidet. (Eine Stelle yo, an der der Graph die y-Achse schneidet oder berührt, gilt hingegen nicht als Nullstelle.)

Aus arithmetischer Sicht liegt eine Nullstelle an der Stelle x0 vor, wenn für eine Funktion f(x) die Gleichung f(xo)=0 erfüllt ist, also wenn der y-Wert = 0 ist. Versagen analytische Methoden zur Bestimmung von Nullstellen, liefert die numerische Mathematik (nähern des Wertes durch Hilfe eines Computerprogramms) entsprechende Algorithmen, wie etwa die Bisektion (ein Problem wird immer in zwei Probleme zerlegt und getrennt weiterbehandelt. Bsp.: Erraten einer Zahl zwischen 1 und 10. Es wird immer angegeben, ob die gesuchte Zahl größer der erratenen Zahl ist oder kleiner. Ist die gesuchte Zahl 6, fängt man an, die Hälfte von 10 zur raten: 5, darauf bekommt man die Antwort größer, als nächstes rät man 7 oder 8, darauf die Antwort kleiner, man rät 6).

Die Nullstellen von Polynomen (Bsp. für ein Polynom: x³ + 2x² + 3x + 1) sind aufgrund der sich daraus ergebenden Faktorisierung der Polynome von Interesse.

Nullstellen von einer linearen Funktion

Beispiel: f(x) = 3x + 5

Einfach Gleichung gegen Null setzen und durch Äquivalenzumformungen x ausrechnen.

0 = 3x + 5    | – 5

-5 = 3x       | : 3

-1,67 = x

Bei x = -1,67 ist der Funktionswert f(x) gleich Null.

 

Nullstellen von quadratischen Funktionen

Eine quadratische Funktion hat zwei Nullstellen. Dies macht das Berechnen dieser allerdings nur um ein weniges schwieriger. Am besten berechnet man die Nullstellen durch die PQ-Formel.

Die Funktionsvorschrift einer quadratischen Funktion liegt meistens in folgender Form vor: f(x) = ax² + bx + c. Hierbei ist für den Fall, dass a = 1 ist, b = p und c = q für die PQ-Formel. Ist a nicht 1 multipliziert man alle Summanden oder dividiert sie, sodass 1 herauskommt.
Beispiel:

f(x) = x² + 2x – 3

0 = x² + 2x – 3

x1 = -1 + 2 = 1

x2 = -1 – 2 = -3

 

Der Fall :

f(x) = 2x² + 4x – 6

0 = 2x² + 4x – 6   | : 2

0 = x² + 2x – 3

… (siehe oben)

Nullstellen eines Polynoms:

Beispiel für den einfacheren Fall: 2x³ + x² - 3x

Hier kann man einfach x ausklammern, sodass man zwei Faktoren bekommt. Ein Produkt ergibt Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, die erste Nullstelle ist immer Null, die weiteren beiden kann man dann mit Hilfe der PQ-Formel ausrechnen.

Durchführung:

0 = 2x³ + x² – 3x

0 = x (2x² + x – 3)

x1 = 0

0 = 2x² + x – 3  | : 2

0 = x² + 0,5x – 1,5

x2 = 1      x3 = – 1,5

Für den Fall, dass man x nicht ausklammern kann:

Beispiel: x³ + 2x²+ x – 4

Die erste Nullstelle erhält man durch Probieren. Danach kann man durch das Binom (ein Binom [lat. bis, zwei; nomen, Name] ist ein geklammerter Ausdruck, der aus der Summe, Differenz oder sonstiger Aneinanderreihung zweier Variablen oder Zahlen besteht: (a + b) oder (a – b)), in dem die Gegenzahl vorkommen muss, damit es Null ergibt, teilen.

Man nennt diesen Vorgang Polynomdivision.

Angenommen, man hat durch Probieren als erste Nullstelle x1 = 1 herausbekommen, teilt man nun durch das Binom (x – 1) und erhält dadurch die gewünschte Form, die man dann auch in die PQ-Formel einsetzen kann.

x1 = 1

Ausrechnen von den weiteren Nullstellen durch die PQ-Formel (p = 3, q = 4):

Das ist leider hier nicht möglich, da man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann. Das heißt jetzt nicht, dass man alles umsonst gerechnet hat, sondern, dass es nur eine Nullstelle gibt.

Der zugehörige Graph zeigt auch nur einen einzigen Schnitt bei y = 0:

Jetzt ein Beispiel mit drei Nullstellen: x³ + 2x² – x – 2

Als erstes wieder eine Nullstelle finden, das ist auch in diesem Beispiel x1 = 1. Nun die Polynomdivision durchführen.

x1 = 1

Ausrechnen von den weiteren Nullstellen durch die PQ-Formel:

x2 = – 2      x3 = – 1

Der zugehörige Graph:

 

 
 
 

 

 
 
 

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