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Kreisberechnung
Eines der großen griechischen Probleme befasst sich mit dem Flächeninhalt eines Kreises. Die Kreisfläche ist die erste bzw. einfachste Fläche, die nicht gerade berandet ist! Alle gerade berandeten Figuren lassen sich nach Zerlegung in Dreiecke berechnen!

Definition des Kreises

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) den gleichen Abstand haben. Diesen Abstand nennt man Radius (r).

Versuch, den Flächeninhalt von einem Kreis mit r = 1 cm zu berechnen

1. Versuch 

Man teilt den Kreis in acht gleichgroße „Tortenstücke“ und legt diese so zusammen, dass sie in etwa die Form von einem Parallelogramm bekommen (Rundungen können nicht beachtet werden):

 

Bild 1

 

Bild 2

 

 

 

Bild 3

 

Der Flächeninhalt kann nun über die Formel des Parallelogramms A = g · h (A = Halbkreis [p] · 1) berechnet werden. Um ein genaueres Ergebnis zu bekommen, kann man den Kreis in endlos viele Teile teilen und dann zu einem Parallelogramm zusammenlegen. Je mehr Teile, desto genauer, aber nie ganz exakt. Es gibt aber auch noch andere Überlegungen, wie man den Flächeninhalt eines Kreises berechnen könnte.

2. Versuch

Man legt in den Kreis und um den Kreis ein Quadrat:

Die Seitenlänge des inneren Quadrates ist nach dem Satz des Pythagoras . Deshalb ist der Flächeninhalt des inneren Quadrates 2. Das äußere Quadrat mit der Seitenlänge 2 besitzt den Flächeninhalt von 4. Irgendwo dazwischen muss der Flächeninhalt des Kreises liegen (2 < A Kreis < 4). Der Durchschnitt dieser Zahlen ist folglich eine Annäherung an den Flächeninhalt: .

 

Durch die Anwendung von Mehrecken (Sechseck, Achteck, Sechzehneck, …) kann man sich dem genaueren Flächeninhalt annähern. Es gibt aber noch eine Möglichkeit, die weit besser ist als beide vorhergehenden, da man mit ihr sehr weit rechnen kann.

 

3. Versuch

 

Man schneidet einen Kreis in Streifen, die alle gleich breit sind. Man untersucht nur die Streifen eines Viertelkreises, in dem Beispiel sind es 4. Folglich ist jedes Rechteck breit.

Für jedes Rechteck im Viertelkreis ist nun der Satz des Pythagoras anwendbar:

 

A(R1) = Die Zahl unter der Wurzel ist: h1

A(R2) = Die Zahl unter der Wurzel ist: h2

A(R3) = Die Zahl unter der Wurzel ist: h3

 

Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r = 1 ist demnach:

 

A Kreis = ausklammern

 

A Kreis =

 

A Kreis = kürzen

 

A Kreis =

A Kreis =

A Kreis = 2,495709068

 

Formel für p

(p ist eigentlich der Halbkreis, der ist aber beim Einheitskreis = dem Flächeninhalt)

Nun ist die Zerlegung in diese vier Streifen nicht gerade eine sehr genaue Sache. Man kann den Kreis auch noch in mehrere Streifen schneiden, z. B. 100. Von 100 Streifen kann man 99 berechnen von 1000 kann man 999 berechnen, und so weiter. Man nennt aber nicht eine bestimmte Zahl, sondern irgendeine Zahl n. Daraus kann man nun eine Formel machen (der Radius vom Kreis ist 1, es wird aber vorher noch erweitert auf die Anzahl der Streifen):

 

A Kreis =

 

Formeln, die man auf den Kreis anwenden kann

Umfang (U): U = p · d = 2 p r

Flächeninhalt (A): A = p · r²

 

Flächeninhalt AS eines Kreisausschnitts (Kreissektors) mit dem Mittelpunktswinkel a gilt:

AS =

Für die zugehörige Länge des Kreisbogens (b) gilt:

b =

 
 
 

 

 
 
 

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