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Hochpunkte bzw. Tiefpunkte

Die Extremstellen und -werte müssen nun noch auf ihre Eigenschaften untersucht werden. Es gibt die Möglichkeit, dass sie gar keine Extrema sind, sondern ein Sattelpunkt. Außerdem ist es interessant, ob sie Hochpunkt bzw. Tiefpunkt sind. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten, dies herauszufinden.

  1. Methode des Vorzeichenvergleichs (auch Vorzeichenwechselkriterium genannt)
  2. Methode der höheren Ableitungen

1. Möglichkeit

Beim Vorzeichenvergleich wählt man einen x-Wert vor dem der Extremstelle und einen dahinter. Diese setzt man dann in die Ableitungsfunktion ein. Man bekommt dann einen negativen und positiven Wert heraus. Wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ (+ -> -) liegt ein Maximum, ein Hochpunkt, vor. Wechselt das Vorzeichen von negativ zu positiv (- -> +) liegt ein Minimum, ein Tiefpunkt, vor.

Da man bei der Funktion f(x) =  als Extremstellen -3 und +3 herausbekommen hat, wählt man jetzt z. B. -4 und -2 sowie 2 und 4 und setzt diese in die Ableitung ein:

f’(-4) = -4²-9 = 7
f’(-2) = -2²-9 = -5

Von 7 zu -5 ist klar ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ zu erkennen. Es handelt sich also um einen Hochpunkt.
f’(2) = 2²-9 = -5
f’(4) = 4²-9 = 7

Von -5 zu 7 ist auch ein Vorzeichenwechsel zu erkennen, diesmal allerdings von negativ zu positiv. Folglich handelt es sich hierbei um einen Tiefpunkt.

2. Möglichkeit

Nun gibt es auch noch eine andere Möglichkeit, bei der man die zweite Ableitung untersucht. Ist die 2. Ableitung negativ (f’’(x)<0) muss die 1. Ableitung monoton fallen (->Monotonie). Hierfür darf die zweite Ableitung natürlich nicht gleich Null sein (f’’(x)0). Fällt sie, ist weiterhin bekannt, dass sie vom positiven zum negativen läuft, d. h. es liegt an dieser Stelle ein Hochpunkt vor. Ist die 2. Ableitung im positiven Bereich (f’’(x)>0) wächst die 1. Ableitung monoton (Vorzeichenwechsel muss von negativ zu positiv sein), d. h. an dieser Stelle liegt ein Tiefpunkt vor.

f(x) =
f’(x) = x²-9
f’’(x) = 2x

Nun müssen die Extremstellen (die x-Werte) nur noch in die zweite Ableitung eingesetzt und darauf überprüft werden, ob sie größer oder kleiner Null sind:

f’’(-3) = 2∙(-3) = -6 < 0
(hierbei darf nicht Null herauskommen, ansonsten ist hier kein Extremum vorhanden)
->an dieser Stelle liegt ein Hochpunkt vor

f’’(3) = 2 ∙ 3 = 6 > 0
->an dieser Stelle liegt ein Tiefpunkt vor

Zum Schluss sollte man bei einer kompletten Kurvendiskussion noch einmal die Punkte hinschreiben, da man sie später auch noch im Graphen eintragen muss:

H (-3|18)        T (3|-18)

 
 
 

 

 
 
 

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