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Eine Kurvendiskussion

f(x) = 2x³ + x² - 3x
f’(x) = 6x² + 2x – 3
f’’(x) = 12x + 2
f’’’(x) = 12

Die Ableitungsfunktionen müssen am Anfang natürlich noch nicht angegeben werden, sondern erst bei Bedarf, es werden aber alle gebraucht.

Nullstellen

f(x) = 2x³ + x² - 3x
0 = 2x³ + x² - 3x
(hierbei kann x einfach ausgeklammert werden, das erspart die mühselige Polynomdivision)

0 = x∙(2x² + x - 3)                                         x1 = 0

0 = 2x² + x – 3
0 = x² + 0,5x – 1,5




                                     x2 = -1,5         x3 = 1

 

Extremwerte

f’(x) = 6x² + 2x – 3
0 = 6x² + 2x – 3
0 = x² + x – 0,5

x1 = -0,89       x2 = 0,56

Überprüfung auf Hochpunkt bzw. Tiefpunkt

f’’(x) = 12x + 2
f’’(-0,93) = -9,16 < 0 ->Hochpunkt
f’’(0,59) = 9,08 > 0 ->Tiefpunkt

x-Werte in die Funktion einsetzen um die Extrempunkte herauszubekommen:

f(x) = 2x³ + x² - 3x
f(-0,93) = 2,05
f(0,59) = -1,01

H (-0,93|2,05)           T (0,59|-1,01)

Wendepunkt

f’’(x) = 12x + 2
f’’’(x) = 12 0

0 = 12x + 2
-2 = 12x
= x

f = 0,52

W (|0,52)

Graph

Einfach die gewonnen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und verbinden.

 
 
 

 

 
 
 

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