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Differentialrechnung

Grenzwerte sind schon von den Zahlenfolgen bekannt. Der Grenzwert (lim = limes) einer Funktion ist ein Wert, den der Funktionswert nie einnehmen kann. Es gelten die gleichen Regeln wie bei den Zahlenfolgen (Grenzwertsätze) ...

Im geometrischen Sinne liegt an einer Stelle xo eine Nullstelle vor, wenn der Graph einer Funktion f(x) dort die x-Achse berührt oder schneidet. (Eine Stelle yo, an der der Graph die y-Achse schneidet oder berührt, gilt hingegen nicht als Nullstelle.) ...

Ursprünglich hat man nur die Steigung von linearen Funktionen berechnet, da diese überall den gleichen Anstieg haben. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt, wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat ...

In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt ...

Der Extremwert einer Funktion ist der höchste oder tiefste Punkt entweder in der ganzen Funktion (globales/absolutes Minimum oder Maximum) oder in einer Umgebung (lokales/relatives Minimum oder Maximum) ...

Die Extremstellen und -werte müssen nun noch auf ihre Eigenschaften untersucht werden. Es gibt die Möglichkeit, dass sie gar keine Extrema sind, sondern ein Sattelpunkt. Außerdem ist es interessant, ob sie Hochpunkt bzw. Tiefpunkt sind. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten, dies herauszufinden ...

Ein Wendepunkt ist ein Punkt in einer Kurve, wo sich die Richtung der Kurve ändert. D. h. wenn die Kurve vorher nach rechts gekrümmt war, krümmt sich die Kurve hinterher nach links. Einen solchen Punkt gibt es auch bei vielen Funktionen. Dieser Punkt ist dort, wo die Steigung der Funktion (Steigung einer Funktion wird durch die Ableitungsfunktion bestimmt) am stärksten ist. Denn vorher wird die Steigung immer stärker und hinterher wieder schwächer durch die entgegengesetzte Krümmung ...

f(x) = 2x³ + x² - 3x
...

Bei der Rekonstruktion geht es darum, mit den gegebenen Informationen eine komplette Funktionsvorschrift zu erlangen ...

Bei diesem Aufgabentyp geht es darum, Prozesse zu optimieren, minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder Volumen zu erhalten. Dabei braucht man eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung, da man meistens mehr als eine Unbekannte hat und man für die Zielfunktion am Ende nur eine Unbekannte haben möchte. Von der Zielfunktion sind die Extremwerte dann die gesuchten Größen. Wenn z. B. nach maximalen Volumen gefragt wird, ist die Hauptbedingung V = … Soll nach minimaler Oberfläche gesucht werden ist die Hauptbedingung O = … Die Nebenbedingung enthält Informationen, wie zum Beispiel ein gegebenes Volumen, wenn die Oberfläche minimal bzw. maximal werden soll. Ein Beispiel dazu ...

Zur Wiederholung ein paar Beispiele von Kurvendiskussionen.

Regel zum Ableiten von Produkten. Funktionen der Form f(x) = u(x) v(x).

Regel zum Ableiten von Quotienten. Funktionen der Form f(x) = u(x)/v(x).

Regel zum Ableiten von verketteten Funktionen der Form f(x) = u(v(x)).

 

 

 
 
 

 

 
 
 

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